Найдите вероятность того что дни рождения случайно выбранных 12 человек


ТМиВС 8вариант

ТМиВС

Я не смогла сделать только 5 задание, в 8 задании – график, и 9-интервальные оценки и в 10-последний поппункт.

Вариант № 8

  1. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

Решение:

Т.к.каждый из 12 человек может родится в любом из 12 месяцев года, то число всех возможных вариантов можно посчитать по формуле размещений с повторениями:

Число благоприятных случаев получим, представляя месяцы рождения у этих 12 человек, т.е.

M=P12=12!.

Тогда искомая вероятность будет равна:

Ответ: Р=0,000054

  1. Вероятность, что студент сдаст первый экзамен, равна 0.8, второй – 0.7, третий – 0.6. Вычислить вероятность того, что студент сдаст более двух экзаменов.

Решение:

Т.к. 3 экзамена, а нам следует вычислить вероятность того, что студент сдаст >2 экзаменов, то нужно найти вероятность того, что студент сдаст все 3 экзамена.

Пусть событие D – студент сдаст все 3 экзамена, тогда:

Ответ: Р=0,336

  1. В 3 урнах находятся белые и черные шары. В первой 2 белых и 3черных, во второй 2 белых и 2 черных, в третьей 3 белых и 1 черный. Из первой урны переложили шар во вторую. После этого шар из второй урны переложили в третью. Наконец из третьей урны шар переложили в первую. Чему равна вероятность того, что состав шаров во всех урнах не изменится?

Решение:

Что бы прежний состав урны, надо вытащить шар того же цвета, что и положенный.

Введем гипотезы: Н1-из первой урны вытащили белый шар, Р(Н1)=; Н2-из первой урны вытащили черный шар, Р(Н2)=.

Событие А-состав урн остался прежним. По формуле полной вероятности, вычисляем:

Ответ: Р(А)=0,34

  1. Игральная кость брошена 12 раз. Найти вероятность выпадения шестерки 5 раз.

Решение:

Решаем, по формуле Бернулли:

n-количество испытаний, k=количество появления события; p-вероятность появления события в одном испытании: q=1-p.

Получаем:

n=12; p=;q=

Подставляем значения в формулу:

Ответ: Р=0,030

  1. В страховом обществе застраховано 11000 автолюбителей. Размер страхового взноса равен 10 у.е., а в случае аварии страховое общество выплачивает 1000 у.е. Какова вероятность что страховое общество к концу года разорится, если вероятность автолюбителю попасть в аварию равна 0,006?

НЕ РЕШЕНА!!!!!! Не знаю, как решить=(

  1. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0.5. Случайная величина (СВ) Х – число поражений цели при трех выстрелах. Получить ряд распределения, вычислить функцию распределения F(x) и построить ее график.

Решение:

Случайная величина Х- число поражений цели при 3 выстрелах. В n=3 независимых испытаниях вероятность того, что скоростной режим не нарушен, по условию постоянна и равна p=0.5. Следовательно, вероятность поражения: q=1-p=0.5

Следовательно ряд распределения, будет следующим:

P(0)=0.53=0,125

P(1)=

P(2)=

P(3)=1*

xi

0

1

2

3

pi

0,125

0,375

0,375

0.125

Функция распределения:

0,4

A2 А3

0,375

0,2

А1 A4

0,125

-1 1 2 3 А5

А0

  1. Вычислить функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины, заданной рядом распределения

xi

-1

1

3

5

pi

0,1

0,2

0,3

0,4

Решение:

Функция распределения:

На оси Х откладываем значения хi, равные -1,1,3,5, а по вертикальной оси вероятности этих значений:

А4

0,4

А3

0,3

А2

0,2

А1

0,1

-1 1 2 3 4 5 А5

А0

Вычислим математическое ожидание:

M(x)=

Вычислим дисперсию:

D(x)=M(x2)-(M(x))2

M(x2)=

(M(x))2=32=9

D(x)=13-9=4

  1. Плотность вероятности случайной величины Х равна

Найти постоянную С, функцию распределения F(x), математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания СВ на отрезок [0, 1]. Построить графики функций F(x) и

Решение

Вычислим значение константы С из условия нормировки:

с=

Определим функцию распределения F(x):

для x<0:

для

для

Окончательно:

Вычислим вероятность :

Вычислим математическое ожидание:

Вычислим дисперсию:

Прости дальше решить не получается( С такими графиками, у меня проблема(

9. По выборке одномерной случайной величины

  • построить график эмпирической функции распределения ,

  • построить гистограмму относительных частот равноинтервальным способом,

  • вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии,

  • вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии при доверительной вероятности , не знаю.(

  • выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия Пирсона при уровне значимости .

Одномерная выборка:

18-20

20-22

22-24

24-26

26-28

15

27

61

29

18

График эмпирической функции:

Эмпирическая функция распределения Fn(x), определяется следующим образом:

,

где nx – число вариант меньших х (х принадлежит R), n – объем выборки.

График эмпирической функции:

F*(x)

0,19

0,18

0,17

0,16

0,15

0,14

0,13

0,12

18 20 22 24 26 28 x

Построим гистограмму относительных частот равноинтервальным способом:

61

29

27

18

15

18 20 22 24 26 28

Вычислим точечные оценки математического ожидания и дисперсии

Номер наблюдения i

1

2

3

4

5

Сумма значений в строке

Левая граница ai

18

20

22

24

26

Правая граница bi

20

22

24

26

28

Частота тi

15

27

61

29

18

Середина интервала хi

19

21

23

25

27

хiтi

285

567

1403

725

486

Отклонение от среднего

-18,2

-20,2

-22,2

-24,2

-26,2

-273,5

-546,3

-1356,2

-702,8

-472,2

4986,8

11053,5

30153,6

17030,4

12387,4

Несмещенной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое:

Выборочная дисперсия определяется по формуле:

S=22.45

При уровне значимости а=0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения:

18-20

20-22

22-24

24-26

26-28

15

27

61

29

18

10. По корреляционной таблице двумерной случайной величины

Корреляционная таблица:

20

22

24

26

28

30

32

30

-

6

-

4

-

2

5

40

4

-

5

-

7

1

-

50

-

4

3

5

-

-

6

60

5

3

-

-

10

2

-

70

-

4

10

4

2

8

-

Выборочный коэффициент корреляции:

Найдем необходимые числовые характеристики.

Выборочные средние:

=(20*9+22*17+24*18+26*13+28*19+30*13+32*11)/100=25.98

=(30*17+40*17+50*18+60*20+70*28)/100=52.5

Дисперсии:

σ2x = (202*9+222*17+242*18+262*13+282*19+302*13+322*11)/150-25.982=13.48

σ2y = (302*17+402*17+502*18+602*20+702*28)/100-52.52=210.75

Откуда получаем среднеквадратические отклонения:

σx = 3.672 и σy = 14.51

Cov(x,y) =(30*22*6+30*26*4+30*30*2+30*32*5+40*20*4+40*24*5+40*28*7+40*30*1+50* 22*4 + 40*24*3+50*26*5+50*32*6+60*20*5+60*22*3+60*28*10+60*30*2+70*22*4+70* 24*10 +70*26*4+70*28*2+70*30*8)/100-(25.98*52.5)=1361.4-1363.95=-2.55

Определим коэффициент корреляции

Значимость коэффициента корреляции:

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=100-m-1 = 98 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;α/2) = (98;0.025) = 1.984

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку tнабл > tкрит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.

А эмпирическое уравнение прямой лини регрессии на . – прости честно не помню как решала, меня не получается тебе решить. Прости.

Найдите вероятность того, что из 25 случайно выбранных людей хотя бы двое имеют один и тот же день рождения

Классическая задача на день рождения:

Настоящие и перспективные:

(1) В комнате 25 человек (без близнецов), у которых есть независимые дни рождения.

(2) Предположим, что 365 дней в каждом году имеют равную (равномерную) вероятность того, что каждый день может быть датой рождения человека (p = 1/365 для каждого дня).

(3) Теперь переформулируем проблему с точки зрения календарных дат.Когда вы выбираете людей из комнаты, насколько вероятно, что оставшиеся люди в комнате имеют уникальные даты рождения (примечание: вероятность того, что хотя бы двое из них совпадают с датой рождения, равна 100% минус это значение).

Решение:

Для каждого выбранного человека (и исключенной даты) количество открытых свиданий на единицу меньше. Итак, только для двух человек в комнате вероятность того, что у них общая дата рождения, равна (1 - вероятность уникальных дней рождения)
P 1 = 1 - (365/365) * (364/365).

Для трех человек в комнате вероятность того, что хотя бы двое имеют общую дату рождения, равна
P 2 = 1 - (365/365) * (364/365) * (363/365).
. . .
Для 25 человек в комнате вероятность того, что хотя бы двое из них имеют одинаковую дату рождения, равна
P 25 = 1 - (365/365) * (364/365) * (363/365) * (362/365) ) *… * (341/365) [примечание: 25 соотношений]
P 25 = 0,5687

Вероятность 50% сначала превышается, когда в комнате находится всего 23 человека (P = 0,5073). Удивительно, но вероятность 99% достигается, когда в комнате находится всего 57 человек. Когда в комнате 366 человек, должен быть дублирующийся день рождения!

Моделирование:

Обратите внимание, что используется генератор ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ.

«Произвольно сгенерировать 20 различных групп по 25 дней рождения. Использовать результат ...» означает

Сделайте это 20 раз и сохраните полученный счетчик

Создать группу из 25 дней рождения (то есть 25 случайных целых чисел)

Определить, совпадают ли любые два или более из них

Установить счетчик на 0

На каждый день рождения

За каждый оставшийся день рождения [примечание: предыдущие уже считаются]

Если этот день рождения = оставшийся день рождения ТОГДА увеличивайте счетчик

Следующий оставшийся день рождения

Следующий день рождения

Сохранить полученный счетчик в массиве

Конец До

«Использовать результат для оценки вероятности» означает

Подсчитать ненулевые счетчики

[в массиве счетчиков; в этих группах было несколько дней рождения]

Установить счетчик на 0

На 20 элементов массива

Если элемент массива <> 0, то счетчик приращения

Конец для

Вывести этот счетчик

Теперь обратите внимание на разницу между (1) теоретической вероятностью (математическое значение, полученное в «решении» выше), смоделированной вероятностью (от запуска этой компьютерной программы) и (3) экспериментальной вероятностью (от фактического запроса «людей в комната").Моделируемая вероятность и экспериментальная вероятность меняются каждый раз. Но - со многими, многими из этих симуляций или экспериментов, мы ожидаем затем приблизиться к Теоретической вероятности.

.

День рождения Задача  Вероятность того, что 2 человека будут иметь один день рождения в комнате из 41 человека, составляет 90%.  Чтобы случайным образом выбрать ___ дней рождения, randInt (1,

Презентация на тему: «Проблема дня рождения  Вероятность того, что 2 человека будут иметь один день рождения в комнате из 41 человека, составляет 90%.  Для случайного выбора ___ дней рождения, randInt (1,» - стенограмма презентации:

1 Задача о дне рождения  Вероятность того, что 2 человека будут иметь один день рождения в комнате из 41 человека, составляет 90%. Для случайного выбора ___ дней рождения, randInt (1, 365, __)  L1: SortA (L1) Это отсортирует день в порядке возрастания; прокрутите список, чтобы увидеть повторяющиеся дни рождения. Повторяйте много раз.  Следующая короткая программа может быть использована для определения вероятности того, что по крайней мере 2 человека в группе из n человек будут иметь один день рождения: Подсказка N: 1- (prod ((seq ((366-X) / 365, X, 1 , N, 1))

2 Пара планирует завести троих детей.Найдите вероятность того, что дети (а) все мальчики  (б) все девочки  (в) ровно два мальчика или ровно две девочки  (г) хотя бы по одному ребенку каждого пола.

3

4  Если события A и B не пересекаются, они могут происходить одновременно.  Общие результаты!

5  В классе статистики 18 юниоров и 10 старших; 6 старшеклассников - девушки, а 12 юниоров - юноши.Если учащийся выбран случайным образом, найдите вероятность выбора  (a) младшего или женского пола  (b) старшего или женского  (c) не младшего мальчика.

6 Пример 6.23, с. 438  Дебора догадывается, что проблема. партнерства в фирме составляет 0,7, а у Мэтью - 0,5. Она догадывается, что проблема. что оба делают партнера 0,3. 1) Найдите P (хотя бы один становится партнером) 2) P (ни один из них не становится партнером) 3) P (Дебора становится партнером, а Мэтью нет) 3) P (Матфей становится партнером, а Дебора нет).


7  Пусть A = выбранная женщина 18-29  Пусть B = женщина замужем 1) P (A) 2) P (A и B) 3) P (B, если A)

8 Вероятность, которую мы присваиваем событию, если мы знаем, что произошло другое событие.

9  Назовите семью благополучной, если ее доход превышает 100 000 долларов.Назовите семью образованной, если она окончила колледж. Выберите случайным образом американское домохозяйство, и пусть A будет событием, когда выбранное домохозяйство преуспевает, а B - событием, что оно образовано. Согласно данным Current Population Survey, P (A) = 0,138, P (B) = 0,261, а вероятность того, что домохозяйство является одновременно процветающим и образованным, равна P (A и B) = 0,082. 1) Какова условная вероятность того, что выбранное домохозяйство преуспевает при условии, что оно образовано? 2) Независимы ли A и B? Используйте оба метода, чтобы определить, являются ли два события независимыми.

10  Семьдесят пять процентов людей, покупающих фены, - женщины. Из этих женщин, покупающих фены, тридцать процентов - люди старше 50 лет. Какова вероятность того, что случайно выбранный фен купит женщина старше 50 лет?  Страховой агент знает, что 70 процентов ее клиентов имеют надлежащую защиту от ДТП. Она также знает, что из тех, кто имеет надлежащее страховое покрытие, 5 процентов попали в аварии, а из тех, кто не имеет надлежащего покрытия, 12 процентов попали в аварии.Если один из ее клиентов попадет в аварию, то какова вероятность того, что у этого клиента нет надлежащего покрытия?

11 70% людей покупают DVD-плееры Brand 1. 30% покупают Brand 2. Из тех, кто покупает DVD-плеер, 20% тех, кто покупает Brand 1, также получают расширенную гарантию, а 40% тех, кто покупает Brand 2, получают ее. Составьте древовидную диаграмму и найдите следующее: 1) Какова вероятность того, что они получат Марка 1 и расширенную гарантию? 2) Какова вероятность, что у них есть Бренд 2 и нет расширенной гарантии? 3) Какова вероятность того, что они купили марку 2, если получили расширенную гарантию? 4) Какова вероятность того, что они купят Бренд 1, если не получат расширенную гарантию?

.

Вероятность: независимые события

Жизнь полна случайных событий!

Чтобы он был умным и успешным человеком, нужно «почувствовать» его.

Подбрасывание монеты, бросание кубиков и розыгрыш лотереи - все это примеры случайных событий.

Может быть:

Зависимые события , где то, что происходит , зависит от , что произошло раньше, например, если брать карты из колоды, каждый раз получается меньше карт (подробнее см. В разделе «Условная вероятность»), или

Независимые события , о которых мы узнаем здесь.

Независимые мероприятия

независимых событий - это , на которые не влияют предыдущие события.

Это важная идея!

Монета не «знает», что раньше выпадала орел.

И каждое подбрасывание монеты - совершенно изолированная вещь.

Пример: вы подбрасываете монету, и она трижды выпадает «орел» ... каков шанс, что , следующий подброс также будет «орлом»?

Шанс просто ½ (или 0.5) просто как ЛЮБОЙ бросок монеты.

То, что он делал в прошлом, не повлияет на текущий бросок!

Некоторые люди думают, что «это уже давно пора для хвоста», но на самом деле действительно : следующий бросок монеты полностью независим от любых предыдущих подбрасываний.

Сказать «Придется хвост» или «еще раз, моя удача изменится» называется Заблуждение игрока

Конечно, ваша удача может измениться , потому что каждый бросок монеты имеет равный шанс.

Вероятность независимых событий

«Вероятность» (или «Шанс») - это , насколько вероятно, что-то должно произойти.

Итак, как рассчитать вероятность?

Вероятность наступления события = Возможности этого явления Общее количество исходов

Пример: какова вероятность получить «голову» при подбрасывании монеты?

Количество способов, которыми это может случиться: 1 (Голова)

Общее количество исходов: 2 (Голова и хвост)

Таким образом, вероятность = 1 2 = 0.5

Пример: какова вероятность получить «4» или «6» при броске кубика?

Количество возможных вариантов: 2 («4» и «6»)

Общее количество исходов: 6 («1», «2», «3», «4», «5» и «6»)

Таким образом, вероятность = 2 6 знак равно 1 3 = 0,333 ...

Способы отображения вероятности

Вероятность изменяется от 0 (невозможно) до 1 (точно):

Часто отображается в виде десятичной дроби или дроби .

Пример: вероятность получить «голову» при подбрасывании монеты:

  • В десятичном формате: 0,5
  • В виде дроби: 1/2
  • В процентах: 50%
  • Или иногда так: 1-в-2

Два или более событий

Мы можем рассчитать шансы двух или более независимых событий на , умножив вероятность .

Пример: вероятность появления 3 голов в ряду

Для каждого броска монеты вероятность выпадения головы равна 0,5:

Итак, шанс выпадения 3 решек подряд равен 0,125

Таким образом, каждый бросок монеты с вероятностью ½ окажется орлом, но лотов выпадения подряд маловероятны.

Пример: Почему маловероятно выпадение, скажем, 7 орлов подряд, если у каждого броска монеты с вероятностью ½ выпадения решки?

Потому что мы задаем два разных вопроса:

Вопрос 1: Какова вероятность выпадения 7 орлов подряд?

Ответ: 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 = 0.0078125 (менее 1%)

Вопрос 2: Когда у нас только что выпало 6 орлов подряд, какова вероятность того, что при следующем подбрасывании также будет решкой?

Ответ: ½, так как предыдущие броски не влияют на следующие броски

Вы можете поиграть с Quincunx, чтобы увидеть, как многие независимые эффекты могут иметь узор.

Обозначение

Мы используем «P» для обозначения «Вероятность»,

Итак, для независимых событий:

P (A и B) = P (A) × P (B)

Вероятность A и B равна вероятности A, умноженной на вероятность B

Пример: ваш босс (чтобы быть справедливым) случайным образом назначает всем дополнительные 2 часа работы по вечерам в выходные с 4 до полуночи.

Каковы шансы получить субботу между 4 и 6?

День: в выходные два дня, поэтому P (суббота) = 0,5

Время: вы хотите 2 часа от «4 до 6», из 8 часов от 4 до полуночи):

P ("от 4 до 6") = 2/8 = 0,25

А:

P (суббота и «от 4 до 6») = P (суббота) × P ("от 4 до 6")
= 0.5 × 0,25
= 0,125

Или с вероятностью 12,5%

(Примечание: мы ТАКЖЕ могли решить, что вам нужно 2 часа из всех возможных 16 часов, что составляет 2/16 = 0,125. Оба метода здесь работают.)

Другой пример

Пример: вероятность задержки рейса составляет 0,2 (= 20%), каковы шансы отсутствия задержек на рейсе туда и обратно

Вероятность того, что рейс не будет задержан , составляет 1 - 0.2 = 0,8 , так что это все возможные результаты:

0,8 × 0,8 = 0,64 вероятность без задержек
0,2 × 0,8 = 0,16 вероятность задержки первого рейса
0,8 × 0,2 = 0,16 вероятность задержки обратного рейса
0,2 × 0,2 = 0.04 Вероятность задержки обоих рейсов

Если сложить все возможности, мы получим:

0,64 + 0,16 + 0,16 + 0,04 = 1,0

Все они прибавляют к 1.0, что является хорошим способом проверки наших расчетов.

Результат: 0,64 , или 64% шанс отсутствия задержек

Еще один пример

Представьте, что есть две группы:

  • Член каждой группы выбирается случайным образом в круг победителей,
  • , затем один из них случайным образом выбирается для получения большого денежного приза:

Каковы ваши шансы выиграть большой приз?

  • есть 1/5 шанс попасть в круг победителей
  • и 1/2 шанса выиграть большой приз

Итак, у вас есть шанс 1/5, за которым следует 1/2... что дает шанс 1/10 в целом:

1 5 × 1 2 = 1 5 × 2 = 1 10

Или мы можем вычислить с использованием десятичных знаков (1/5 - 0,2, а 1/2 - 0,5):

0,2 ​​x 0,5 = 0,1

Таким образом, ваш шанс на крупный выигрыш составляет 0,1 (что равно 1/10).

совпадение!

Многие «совпадения» на самом деле вероятны.

Пример: вы находитесь в комнате с 30 людьми и обнаруживаете, что Зак и Анна празднуют свой день рождения в один и тот же день.

Вы скажете:

  • «Ого, как странно!», Или
  • «Это кажется разумным, ведь здесь так много людей»

На самом деле существует вероятность 70%, , что произойдет ... так что это , вероятно, .

Почему так высок шанс?

Потому что вы сравниваете всех со всеми (а не только одного со многими).

А с 30 человек то есть 435 сравнений

(Прочтите общие дни рождения, чтобы узнать больше.)

Пример: Snap!

Вы когда-нибудь говорили что-то точно в в то же время, что и кто-то другой ?

Ого, как здорово!

Но вы, вероятно, делились опытом (фильм, путешествие, что угодно), и поэтому ваши мысли были похожи.

И есть очень много способов что-то сказать...

... так это похоже на карточную игру "Снап!" (также называемые Slaps или Slapjack) ...

... если вы скажете достаточно слов вместе, они в конечном итоге совпадут.

Так что, может быть, не так уж и здорово, просто шанс на работе.

Можете ли вы вспомнить другие случаи, когда «совпадение» было просто вероятным?

Заключение

  • Вероятность: (Количество способов, которыми это может произойти) / (Общее количество исходов)
  • Зависимые события (например, удаление шариков из мешка) зависят от предыдущих событий
  • Независимые события (например, подбрасывание монеты) не затронуты предыдущими событиями
  • Мы можем вычислить вероятность двух или более независимых событий на , умножив
  • Не все совпадения на самом деле маловероятны (если подумать).

.

Смотрите также

Поздравления на все случаи жизни

Все материалы, размещенные на сайте, либо написаны нами, либо присланы нашими читателями, либо взяты из открытых источников. Если Вы обнаружили свою авторскую работу, то напишите нам, и мы удалим ее незамедлительно!

© 2013- Энциклопедия тамады