Вероятность того что в классе из 30 человек есть совпадающие дни рождения


Какова вероятность совпадения дня рождения по крайней мере у двух учеников?

Я ничего здесь мистического не вижу. В одном часу, грубо говоря, три с половиной тысячи секунд. А мыслей крутится в человеческой голове почти в три раза больше. Больше 10 000. Я не считала. Есть кому считать.

Они проистекают, растворяются, забываются, но никто толком не изучил человеческий мозг, только хвалятся, а на самом деле, чтобы изучить количество нейронов все их связи сопоставимые с количеством звёзд в нашей Галактике, невозможно. А может мысли никуда не деваются и понятие "кратковременная память", - не совсем верное?

И они приходят ко мне во сне, на улице из рекламы СМИ. А что тут такого? По теории вероятности в моей голове прокрутились сотни тысяч мыслей. А сколько я их проговорила, написала? И если десяток совпадет за сутки, учитывая сон, то это ещё мало. Может больше совпало. Я просто не помню. Они утонули, забылись, заспались.

Господи, да я встретила знакомую несколько лет назад, с которой не виделась почти 20 лет. Но это же фантастика она же не могла не постареть. Всё же я познакомилась, и мы разговорились, никто из её родни и близко не был в той местности, но похожа прямо 100%. Жаль у меня фото не было. Моя память сыграла со мной такую штуку.

Память она любит играть с человеком разные штуки. Но я материалистка и не верю в чудеса. Всё обычно объяснимо. Даже то, что впервые увидев человека, у меня в мозгу всплывает его/её имя. Это тоже объяснимо, но никак к экстрасенсорным перцепциям и прочей мистике не относится.

общих дней рождения

Это отличная головоломка, и вы узнаете много нового о вероятности по пути ...

В комнате 30 человек ... каков шанс, что двое из них отметят день рождения в один и тот же день? Предположим, 365 дней в году.

Некоторые могут подумать:

"30 человек и 365 дней, так что 30/365 звучит примерно правильно.
Что составляет 30/365 = 0,08 ..., так что примерно 8%, может быть? "

А нет!

Вероятность намного выше.

Это на самом деле , вероятно, есть люди, у которых день рождения в этой комнате.

Потому что вы должны всех сравнивать со всеми.

А с 30 людьми это 435 сравнений .

Но вы также должны быть осторожны, чтобы не переоценить шансы.

Я покажу вам, как это сделать ... начиная с небольшого примера:

Друзья и случайные числа

4 друга (Алекс, Билли, Крис и Дасти) выбирают случайное число от 1 до 5.Каков шанс, что кто-то из них выбрал одно и то же число?

Мы будем добавлять наших друзей по одному ...

Во-первых, каков шанс, что у Алекс и Билли один и тот же номер?

Билли сравнивает свой номер с номером Алекса. Вероятность совпадения составляет 1 из 5.

В виде древовидной диаграммы:

Примечание: «Да» и «Нет» вместе составляют 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)

Теперь давайте включим Криса...

Но теперь необходимо рассмотреть два случая (так называемая «условная вероятность»):

  • Если Алекс и Билли совпали , то у Криса есть только , одно число для сравнения.
  • Но если Алекс и Билли не совпадают с , тогда у Криса есть , два числа для сравнения.

И получаем это:

По верхней строчке (Алекс и Билли совпали ) у нас уже есть совпадение (шанс 1/5).

Но для случая «Алекс и Билли не совпали » есть 2 числа , с которыми Крис мог бы сопоставить, так что вероятность совпадения Криса составляет 2/5 (против Алекса и Билли). И 3/5 шанс не совпадать.

И мы можем вычислить совокупный шанс, умножив на , которые потребовались, чтобы попасть туда:

Следуя пути «Нет, да» ... есть вероятность 4/5 ответа "Нет", а затем вероятность 2/5 ответа "Да":

(4/5) × (2/5) = 8/25

По пути «Нет, нет» ... есть вероятность 4/5 "Нет", а затем вероятность 3/5 "Нет":

(4/5) × (3/5) = 12/25

Также обратите внимание, что сложение всех шансов вместе дает 1 (хорошая проверка, что мы не ошиблись):

(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1

Что происходит, когда мы включаем Дасти?

Это та же идея, только больше:

Хорошо, это все 4 друга, и шансы «Да» вместе составляют 101/125:

Ответ: 101/125

Но вот кое-что интересное... если мы пойдем по пути «Нет», мы сможем пропустить все остальные вычисления и облегчить себе жизнь:

Вероятность того, что не соответствует , составляет:

(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125

Таким образом, шансы на совпадение с равны:

1 - (24/125) = 101/125

(И для этого нам не нужна была древовидная диаграмма!)

И это популярный вероятностный трюк:

Часто проще решить случай «Нет»
(и вычесть из 1 для случая «Да»)

Пример: каковы шансы, что с 6 людьми кто-нибудь из них отпразднует свой День Рождения в один и тот же месяц? (Предположим, что месяцы равны)

Случай "несоответствия" для:

  • 2 человека - 11/12
  • 3 человека (11/12) × (10/12)
  • 4 человека это (11/12) × (10/12) × (9/12)
  • 5 человек это (11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12)
  • 6 человек это (11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12) × (7/12)

Таким образом, вероятность того, что не соответствует , составляет:

(11/12) × (10/12) × (9/12) × (8/12) × (7/12) = 0.22 ...

Переверните это, и мы получим шанс соответствовать :

1 - 0,22 ... = 0,78 ...

Итак, существует 78% вероятность , что любой из них празднует свой День Рождения в том же месяце

А теперь мы можем попробовать вычислить вопрос «Общий день рождения», с которого мы начали:

В комнате 30 человек... каков шанс, что двое из них отметят день рождения в один и тот же день? Предположим, 365 дней в году.

Это как в предыдущем примере! Но все больше и больше цифр:

Вероятность того, что не соответствует :

364/365 × 363/365 × 362/365 × ... × 336/365 = 0,294 ...

(я сделал этот расчет в электронной таблице,
, но есть и математические сокращения)

И вероятность совпадения с равна 1 - 0.294 ... :

Вероятность совместного дня рождения = 1 - 0,294 ... = 0,706 ...

Или с вероятностью 70,6%, что составляет , скорее всего, !

Таким образом, вероятность для 30 человек составляет около 70% .

А вероятность для 23 человек примерно 50% .

А вероятность для 57 человек 99% (почти наверняка!)

Моделирование

Мы также можем моделировать , используя случайные числа.Попробуйте сами здесь, используйте 30 и 365 и нажмите Go. Будут проведены тысячи случайных испытаний и даны результаты.

Вы также можете попробовать другие примеры из вышеупомянутого, такие как 4 и 5 для имитации «Друзья и случайные числа».

для настоящего

В следующий раз, когда вы окажетесь в комнате с группой людей, почему бы не узнать, есть ли общие дни рождения?

Сноска: В реальной жизни дни рождения распределяются неравномерно ... больше детей рождается в июле, августе и сентябре.Также больницы предпочитают работать в будние дни, а не в выходные, поэтому в начале недели рожают чаще. А есть високосные годы. Но Вы получаете идею.

.

Вероятность: независимые события

Жизнь полна случайных событий!

Чтобы он был умным и успешным человеком, нужно уметь его «чувствовать».

Подбрасывание монеты, бросание кубиков и розыгрыш лотереи - все это примеры случайных событий.

Может быть:

Зависимые события , где то, что происходит , зависит от того, что произошло раньше, например, если брать карты из колоды, каждый раз получается меньше карт (подробнее см. В разделе «Условная вероятность»), или

Независимые события , о которых мы узнаем здесь.

Независимые мероприятия

независимых событий - это , не затронутые предыдущими событиями.

Это важная идея!

Монета не «знает», что раньше выпадала орел.

И каждое подбрасывание монеты - совершенно изолированная вещь.

Пример: вы подбрасываете монету, и она трижды выпадает «орел» ... каков шанс, что при следующем подбрасывании также будет «орлом»?

Шанс просто ½ (или 0.5) просто как ЛЮБОЙ бросок монеты.

То, что он делал в прошлом, не повлияет на текущий бросок!

Некоторые люди думают, что «это уже давно пора для хвоста», но на самом деле действительно : следующий бросок монеты полностью независим от любых предыдущих подбрасываний.

Сказать «Хвостик должен» или «еще раз, моя удача должна измениться» называется Заблуждение игрока

Конечно, ваша удача может измениться , потому что каждый бросок монеты имеет равный шанс.

Вероятность независимых событий

«Вероятность» (или «Шанс») - это , насколько вероятно, что-то должно произойти.

Итак, как рассчитать вероятность?

Вероятность наступления события = Количество способов, которыми это может случиться Общее количество исходов

Пример: какова вероятность получить «голову» при подбрасывании монеты?

Количество способов, которыми это может случиться: 1 (Голова)

Общее количество исходов: 2 (Голова и хвост)

Таким образом, вероятность = 1 2 = 0.5

Пример: какова вероятность получить «4» или «6» при броске кубика?

Количество возможных вариантов: 2 («4» и «6»)

Общее количество исходов: 6 («1», «2», «3», «4», «5» и «6»)

Таким образом, вероятность = 2 6 знак равно 1 3 = 0,333 ...

Способы отображения вероятности

Вероятность изменяется от 0 (невозможно) до 1 (точно):

Часто отображается в виде десятичной дроби или дроби .

Пример: вероятность получить «голову» при подбрасывании монеты:

  • В десятичном формате: 0,5
  • В виде дроби: 1/2
  • В процентах: 50%
  • Или иногда так: 1-в-2

Два или более событий

Мы можем рассчитать шансы двух или более независимых событий на , умножив вероятность .

Пример: вероятность появления 3 голов в ряду

Для каждого броска монеты вероятность выпадения головы равна 0,5:

Итак, шанс выпадения 3 решек подряд равен 0,125

Таким образом, каждый бросок монеты с вероятностью ½ выпадет орлом, но лотов орла подряд маловероятны.

Пример: Почему маловероятно выпадение, скажем, 7 орлов подряд, если у каждого броска монеты с вероятностью ½ выпадения решки?

Потому что мы задаем два разных вопроса:

Вопрос 1: Какова вероятность выпадения 7 орлов подряд?

Ответ: 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 = 0.0078125 (менее 1%)

Вопрос 2: Когда у нас только что выпало 6 орлов подряд, какова вероятность того, что при следующем броске также будет решкой?

Ответ: ½, так как предыдущие броски не влияют на следующие броски

Вы можете поиграть с Quincunx, чтобы увидеть, как многие независимые эффекты могут иметь узор.

Обозначение

Мы используем «P» для обозначения «Вероятность»,

Итак, для независимых событий:

P (A и B) = P (A) × P (B)

Вероятность A и B равна вероятности A, умноженной на вероятность B

Пример: ваш начальник (честно говоря) случайным образом назначает всем по 2 дополнительных часа работы по вечерам в выходные с 4 до полуночи.

Каковы шансы получить субботу между 4 и 6?

День: в выходные два дня, поэтому P (суббота) = 0,5

Время: вы хотите 2 часа от «4 до 6», из 8 часов от 4 до полуночи):

P ("от 4 до 6") = 2/8 = 0,25

А:

P (суббота и «от 4 до 6») = P (суббота) × P («от 4 до 6»)
= 0.5 × 0,25
= 0,125

Или с вероятностью 12,5%

(Примечание: мы ТАКЖЕ могли решить, что вам нужно 2 часа из возможных 16 часов, что составляет 2/16 = 0,125. Оба метода здесь работают.)

Другой пример

Пример: вероятность задержки рейса составляет 0,2 (= 20%), каковы шансы отсутствия задержек на рейсе туда и обратно

Вероятность того, что рейс не будет задержан , составляет 1 - 0.2 = 0,8 , так что это все возможные результаты:

0,8 × 0,8 = 0,64 вероятность без задержек
0,2 × 0,8 = 0,16 вероятность задержки первого рейса
0,8 × 0,2 = 0,16 вероятность задержки обратного рейса
0,2 × 0,2 = 0.04 Вероятность задержки обоих рейсов

Если сложить все возможности, мы получим:

0,64 + 0,16 + 0,16 + 0,04 = 1,0

Все они прибавляют к 1.0, что является хорошим способом проверки наших расчетов.

Результат: 0,64 , или 64% шанс отсутствия задержек

Еще один пример

Представьте, что есть две группы:

  • Член каждой группы выбирается случайным образом в круг победителей,
  • , затем один из них случайным образом выбирается для получения большого денежного приза:

Каковы ваши шансы выиграть большой приз?

  • есть 1/5 шанс попасть в круг победителей
  • и 1/2 шанса выиграть большой приз

Итак, у вас есть шанс 1/5, за которым следует 1/2... что дает шанс 1/10 в целом:

1 5 × 1 2 = 1 5 × 2 = 1 10

Или мы можем вычислить с использованием десятичных знаков (1/5 - 0,2, а 1/2 - 0,5):

0,2 ​​x 0,5 = 0,1

Итак, ваш шанс на крупный выигрыш составляет 0,1 (что равно 1/10).

совпадение!

Многие «совпадения» на самом деле вероятны.

Пример: вы находитесь в комнате с 30 людьми и обнаруживаете, что Зак и Анна празднуют свой день рождения в один и тот же день.

Вы скажете:

  • «Ого, как странно!», Или
  • «Это кажется разумным, ведь здесь так много людей»

На самом деле существует вероятность 70%, , что произойдет ... так что это , вероятно, .

Почему так высок шанс?

Потому что вы сравниваете всех со всеми (а не только одного со многими).

А с 30 человек то есть 435 сравнений

(Прочтите общие дни рождения, чтобы узнать больше.)

Пример: Snap!

Вы когда-нибудь говорили что-то точно в в то же время, что и кто-то другой ?

Ого, как здорово!

Но вы, вероятно, делились опытом (фильм, путешествие, что угодно), и поэтому ваши мысли были похожи.

И есть очень много способов что-то сказать...

... так это похоже на карточную игру "Снап!" (также называется Slap или Slapjack) ...

... если вы произнесете достаточно слов вместе, они в конечном итоге совпадут.

Так что, может быть, не так уж и здорово, просто случай на работе.

Можете ли вы вспомнить другие случаи, когда «совпадение» было просто вероятным?

Заключение

  • Вероятность: (Количество возможных вариантов) / (Общее количество исходов)
  • Зависимые события (например, удаление шариков из мешка) зависят от предыдущих событий
  • Независимые события (например, подбрасывание монеты) не затронуты предыдущими событиями
  • Мы можем вычислить вероятность двух или более независимых событий на , умножив
  • Не все совпадения на самом деле маловероятны (если подумать).

.

Основные понятия вероятности

Основные понятия

Автор (ы)

Дэвид М. Лейн

Предварительные требования

Вступление к вероятности

Цели обучения

  1. Вычислить вероятность в ситуации, когда есть равновероятные результаты
  2. Применение концепций к картам и играм в кости
  3. Вычислить вероятность двух независимых событий, оба произошедших
  4. Вычислить вероятность наступления любого из двух независимых событий
  5. Решать задачи, связанные с условными вероятностями
  6. Вычислите вероятность того, что в комнате из N человек не менее двух день рождения
  7. Опишите ошибку игрока

Вероятность единичного события

Если вы бросите шестигранный кубик, есть шесть возможных результаты, и каждый из этих исходов одинаково вероятен.Шесть с такой же вероятностью выпадет, как тройка, а также для другого четыре стороны кости. Какова же тогда вероятность того, что один подойдет? Поскольку существует шесть возможных исходов, вероятность составляет 1/6. Какова вероятность того, что один или шесть подойти? Два результата, которые нас беспокоят (один или приближающаяся шестерка) называются благоприятными результаты. Учитывая, что все исходы одинаково вероятны, мы можем вычислить вероятность одного или шести по формуле:

В этом случае есть два благоприятных исхода и шесть возможных результаты.Таким образом, вероятность выпадения единицы или шестерки равна 1/3. Не обманывайтесь, когда мы используем термин «благоприятный», Кстати. Вы должны понимать это в смысле «благоприятный на событие, о котором идет речь ". Это событие может не быть благоприятным для вашего благополучия. Вы можете сделать ставку на тройку, например.

Приведенная выше формула применима ко многим азартным играм. Например, какова вероятность того, что случайно выпавшая карта из колоды игральных карт будет туз? Поскольку в колоде четыре туза, есть четыре благоприятных исхода; поскольку в колоде 52 карты, есть 52 возможных исхода.Вероятность поэтому 4/52 = 1/13. Как насчет вероятности того, что карта будет клуб? Так как треф 13, вероятность 13/52 = 1/4.

Допустим, у вас есть сумка с 20 вишнями: 14 сладких и 6 кис. Если вы выберете вишню наугад, какова вероятность что будет сладко? Есть 20 возможных вишен, которые могут быть выбранным, поэтому количество возможных исходов равно 20.Из этих 20 возможных исходов, 14 благоприятных (сладких), поэтому вероятность что вишня будет сладкой - 14/20 = 7/10. Есть один потенциал Однако этот пример усложняется. Следует предположить, что вероятность собрать любую из вишен такая же, как вероятность выбора любого другого. Это было бы неправдой, если бы (представим) черешня меньше кислой ед.(Вишня легче подойдет, когда вы взяли пробу из пакета.) Давайте помнить, что когда мы оцениваем вероятности с точки зрения соотношения благоприятных во всех возможных случаях мы в значительной степени полагаемся на предположение о равных вероятность для всех исходов.

Вот более сложный пример. Вы бросаете 2 кубика. Какова вероятность того, что сумма двух кубиков будет равна 6? Чтобы решить эту проблему, перечислите все возможные результаты.Есть 36 из них, так как каждый кубик может выпасть одним из шести способов. 36 возможности показаны ниже.

Умереть 1 Умереть 2 Всего Умереть 1 Умереть 2 Всего Умереть 1 Умереть 2 Всего
1 1 2 3 1 4 5 1 6
1 2 3 3 2 5 5 2 7
1 3 4 3 3 6 5 3 8
1 4 5 3 4 7 5 4 9
1 5 6 3 5 8 5 5 10
1 6 7 3 6 9 5 6 11
2 1 3 4 1 5 6 1 7
2 2 4 4 2 6 6 2 8
2 3 5 4 3 7 6 3 9
2 4 6 4 4 8 6 4 10
2 5 7 4 5 9 6 5 11
2 6 8 4 6 10 6 6 12


Вы видите, что 5 из 36 возможных вариантов в сумме 6.Следовательно, вероятность 5/36.

Если вы знаете вероятность наступления события, легко вычислить вероятность того, что событие не происходят. Если P (A) - вероятность события A, то 1 - P (A) равно вероятность того, что событие не произойдет. В последнем примере вероятность того, что сумма будет равна 6, составляет 5/36. Следовательно, вероятность что сумма не 6, это 1 - 5/36 = 31/36.

Вероятность двух (или более) независимых событий

События A и B независимы события, если вероятность возникновения события B равна то же самое независимо от того, происходит ли событие А. Возьмем простой пример. Честная монета подбрасывается два раза. Вероятность того, что голова выпадает при втором броске 1/2 независимо от того, Или голова не поднялась с первого же раза.Два события (1) первый бросок - это голова и (2) второй бросок - это голова. Так эти события независимы. Рассмотрим два события (1) «Это завтра будет дождь в Хьюстоне " и (2) «Завтра пойдет дождь в Галвестоне» (город недалеко от Хьюстон). Эти события не являются независимыми, потому что это более Вероятно, что в Галвестоне пойдет дождь в дни, когда идет дождь в Хьюстоне чем по дням это не так.

Вероятность A и B

Когда два события независимы, вероятность того и другого является продуктом вероятностей отдельные события. Более формально, если события A и B независимы, тогда вероятность появления как A, так и B равна:

P (A и B) = P (A) x P (B)

где P (A и B) - вероятность событий A и B оба происходят, P (A) - вероятность возникновения события A, и P (B) - вероятность наступления события B.

Если подбросить монету дважды, какова вероятность что оба раза это поднимет голову? Событие А заключается в том, что монета выпадает орел при первом броске, и Событие B заключается в том, что монета выпадает на второй бросок. Поскольку и P (A), и P (B) равны 1/2, вероятность того, что оба события произойдут, равна

1/2 х 1/2 = 1/4.

Возьмем другой пример. Если подбросить монетку и бросьте шестигранный кубик, какова вероятность того, что монета выпадает орел и выпадает 1? Поскольку два события независимы, вероятность - это просто вероятность голова (что в 1/2 раза больше вероятности выпадения кубика) вверх 1 (что составляет 1/6).Следовательно, вероятность обоих событий происходит 1/2 x 1/6 = 1/12.

Последний пример: вы берете карту из колоды карты, положите ее обратно и возьмите еще одну карту. Какова вероятность что первая карта - сердце, а вторая - черная? поскольку в колоде 52 карты и 13 из них червы, вероятность То, что первая карта - сердце, 13/52 = 1/4. Поскольку есть 26 черных карт в колоде, вероятность того, что вторая карта черный - 26/52 = 1/2.Вероятность наступления обоих событий следовательно, 1/4 x 1/2 = 1/8.

См. Раздел об условных вероятностях на на этой странице, чтобы узнать, как вычислить P (A и Б) когда А и В не независимы.

Вероятность A или B

Если события A и B независимы, вероятность что происходит событие A или событие B:

P (A или B) = P (A) + P (B) - P (A и B)

В этом обсуждении, когда мы говорим «встречается A или B» мы включаем три возможности:

  1. Встречается A, а B не встречается
  2. B встречается, а A не встречается
  3. Встречаются как A, так и B

Использование слова «или» технически называется включительно или потому что он включает случай, когда встречаются как A, так и B.Если бы мы включили только первые два случая, тогда мы будем использовать эксклюзивный или.

(Необязательно) Мы можем вывести закон для P (A-or-B) из нашего закона о P (A-and-B). Мероприятие «А-или-Б» может произойти любым из следующих способов:

  1. А-Б бывает
  2. А-а-не-Б бывает
  3. не-А-а-Б бывает.

Простое событие A может произойти, если A-и-B случается или случается А-а-не-Б.Аналогично простое событие B происходит, если случаются либо A-and-B, либо нет-A-and-B. P (A) + P (B), следовательно, P (A-and-B) + P (A-and-not-B) + P (A-and-B) + P (не-A-and-B), тогда как P (A-or-B) - это P (A-and-B) + P (A-and-not-B) + P (не-A-and-B). Мы можем уравнять эти две суммы, вычитая одно вхождение P (A-and-B) с первого. Следовательно, P (A-or-B) = P (A) + P (B) - P (A-и-B).

А теперь несколько примеров.Если подбросить монету два раза, какова вероятность того, что вы получите голову первым флип или голова на втором флипе (или и то, и другое)? Разрешение событию А быть голова при первом подбрасывании и Событие B - голова при втором подбрасывании, тогда P (A) = 1/2, P (B) = 1/2 и P (A и B) = 1/4. Следовательно,

P (A или B) = 1/2 + 1/2 - 1/4 = 3/4.

Если вы бросите шестигранный кубик, а затем подбросите монету, какова вероятность, что вы получите либо 6 на кубике или голова на подбрасывании монеты (или и то, и другое)? Используя формулу,

P (6 или голова) = P (6) + P (голова) - P (6 и голова)
= (1/6) + (1/2) - (1/6) (1/2)
= 7/12

Альтернативный подход к вычислению этого значения состоит в том, чтобы начать с вычисления вероятности не получить 6 или голова.Затем вычтите это значение из 1, чтобы вычислить вероятность получить 6 или голову. Хотя это сложный метод, он имеет то преимущество, что он применим к проблемам с более двух событий. Вот расчет в данном случае. Вероятность не получить 6 или голову можно изменить. как вероятность

(не получает 6) И (не получает голову).

Это следует потому, что если вы не получили 6 и вы не получили голову, значит, вы не получили 6 или голову.В вероятность не получить шестерку составляет 1 - 1/6 = 5/6. Вероятность не получить голову 1 - 1/2 = 1/2. Вероятность не получить шестерку и не получить голову - 5/6 x 1/2 = 5/12. Эта следовательно, вероятность не получить 6 или голову. В вероятность получить шестерку или голову, следовательно (еще раз) 1 - 5/12 = 7/12.

Если вы бросите кубик три раза, какова вероятность что в одном или нескольких бросках будет 1? То есть, какова вероятность получить 1 при первом броске ИЛИ 1 при втором броске ИЛИ 1 при третьем броске? Самый простой способ чтобы подойти к этой проблеме, нужно вычислить вероятность

НЕ получает 1 за первый бросок
И не получает 1 за второй бросок
И не получает 1 за третий бросок.

Ответ будет 1 минус эта вероятность. В вероятность не получить 1 при любом из трех бросков - 5/6 х 5/6 х 5/6 = 125/216. Следовательно, вероятность получения 1 хотя бы в одном из бросков равно 1 - 125/216 = 91/216.

Условные вероятности

Часто требуется вычислить вероятность события, учитывая, что произошло другое событие.Например, какова вероятность, что две случайные карты вытянуты из колода игральных карт будет как тузами? Может показаться, что вы можете использовать формулу вероятности двух независимых события и просто умножьте 4/52 x 4/52 = 1/169. Это было бы неправильно, однако, потому что эти два события не являются независимыми. Если первая вытянутая карта - туз, тогда вероятность того, что вторая карта тоже туз будет ниже, потому что будет только в колоде осталось три туза.

Если первой выбранной картой является туз, вероятность то, что вторая выбранная карта также является тузом, называется условным вероятность выпадения туза. В этом случае «условие» в том, что первая карта - туз. Символически мы пишем это как:

P (туз при второй розыгрыше | туз при первой розыгрыше)

Вертикальная черта "|" читается как "данный", поэтому приведенное выше выражение является сокращением от: "Вероятность того, что при втором розыгрыше разыгрывается туз, если был вытянут туз по первому розыгрышу."Какова эта вероятность? Поскольку после при первом розыгрыше выпадает туз, из них 3 туза Всего осталось 51 карта. Это означает, что вероятность того, что один из этих тузов выпадет 3/51 = 1/17.

Если события A и B не независимы, то P (A и B) = P (A) x P (B | A).

Применяя это к проблеме двух тузов, вероятность выпадения двух тузов из колоды 4/52 x 3/51 = 1/221.

Еще один пример: если вы берете две карты из колоды, какова вероятность того, что вы получите бубновый туз а черная карта? Есть два способа выполнить это условие: (a) Сначала вы можете получить бубновый туз, а затем черную карту или (б) вы можете сначала получить черную карту, а затем бубновый туз. Рассчитаем случай A. Вероятность того, что первая карта окажется Бубновый туз равен 1/52.Вероятность того, что вторая карта черный, учитывая, что первая карта - бубновый туз - 26/51 потому что 26 из оставшейся 51 карты черные. Вероятность следовательно, 1/52 x 26/51 = 1/102. Теперь для случая B: вероятность что первая карта черная - 26/52 = 1/2. Вероятность того, что вторая карта - бубновый туз, учитывая, что первая карта черный - 1/51. Следовательно, вероятность случая B равна 1/2 x 1/51 = 1/102, как вероятность случая A.Напомним, что вероятность A или B равна P (A) + P (B) - P (A и B). В этом проблема, P (A и B) = 0, так как карта не может быть тузом бубен и быть черной картой. Следовательно, вероятность случая А или случая B равно 1/102 + 1/102 = 2/102 = 1/51. Итак, 1/51 - это вероятность того, что при розыгрыше вы получите бубновый туз и черную карту две карты из колоды.

Проблема дня рождения

Если в комнате 25 человек, какой вероятность того, что хотя бы двое из них имеют один день рождения.Если вы сначала подумали, что это 25/365 = 0,068, вы будете удивлен, узнав, что это намного выше, чем это. Эта проблема требует применение разделов на P (A и B) и условных вероятность.

К этой проблеме лучше всего подойти, спросив, что вероятность того, что у двух людей нет одного дня рождения. однажды мы знаем эту вероятность, мы можем просто вычесть ее от 1 до найти вероятность того, что у двух человек один день рождения.

Если мы выберем двух человек наугад, какой вероятность того, что у них не будет одного дня рождения? Из 365 дней на которых у второго человека мог быть день рождения, их 364 отличаются от дня рождения первого человека. Следовательно вероятность 364/365. Определим P2 как вероятность того, что второй нарисованный человек не разделяет день рождения с этим человеком нарисованный ранее.P2, следовательно, 364/365. Теперь определим P3 как вероятность того, что нарисованное третье лицо не разделяет день рождения с кем-либо нарисованным ранее, учитывая, что нет предыдущих совпадений дней рождения. P3, следовательно, является условным вероятность. Если предыдущих совпадений дней рождения нет, то два из 365 дней были «израсходованы», в результате осталось 363 несовпадающие дни. Следовательно, P3 = 363/365. Аналогичным образом, P4 = 362/365, P5 = 361/365 и так далее до P25 = 341/365.

Чтобы не было совпадений, второй человек не должен совпадать с каким-либо предыдущим человеком и третье лицо не должно совпадать с каким-либо предыдущим лицом, и четвертое лицо не должно совпадать с каким-либо предыдущим и т. д. P (A и B) = P (A) P (B), все, что нам нужно сделать, это умножить P2, P3, P4 ... P25 вместе. Результат 0,431. Следовательно, вероятность хотя бы одного совпадения 0.569.

Заблуждение игрока

Честная монета подбрасывается пять раз и выпадает головы каждый раз. Какова вероятность, что это произойдет головы на шестом броске? Правильный ответ, конечно, 1/2. Но многие люди считают, что хвост чаще встречается бросив пять голов. Их ошибочные рассуждение может звучать примерно так: "В конечном итоге число орла и решки будут одинаковыми, поэтому у хвостов есть наверстать упущенное."Выявлены недостатки этой логики. в моделировании в этой главе.

Пожалуйста, ответьте на вопросы:

отзыв
.

Правил вероятности

Часто мы хотим вычислить вероятность события из известных вероятности других событий. В этом уроке рассматриваются некоторые важные правила которые упрощают эти вычисления.

Примечание: Ваш браузер не поддерживает видео в формате HTML5. Если вы просматриваете эту веб-страницу в другом браузере (е.g., последняя версия Edge, Chrome, Firefox или Opera), вы можете посмотреть видеообработку этого урока.

Определения и обозначения

Прежде чем обсуждать правила вероятности, сформулируем следующие определения:

  • Два события равны взаимно исключительный или непересекающийся если они не могут возникнуть одновременно.
  • Вероятность того, что событие A произойдет, при условии, что событие B произошло, называется условная вероятность .Условная вероятность Событие A для данного события B обозначается символом P (A | B).
  • Дополнение события - это событие, которое не произошло. Вероятность того, что Событие A будет , а не , обозначается P (A ').
  • Вероятность того, что события A и B оба произойдут, равна вероятность пересечения A и B. Вероятность пересечения Событий A и B обозначается через P (A ∩ B).Если события A и B взаимоисключающие, P (A ∩ B) = 0.
  • Вероятность того, что События A или B произойдут, равна вероятность объединения A и B. Вероятность объединения событий A и B обозначается через P (A ∪ B).
  • Если наступление События А изменяет вероятность Событие B, затем события A и B зависят от . С другой стороны, если возникновение События А не изменится вероятность события B, то события A и B являются независимый .

Правило вычитания

в предыдущий урок, мы узнали два важных свойства вероятности:

  • Вероятность события колеблется от 0 до 1.
  • Сумма вероятностей всех возможных событий равна 1.

Правило вычитания следует непосредственно из этих свойств.

Правило вычитания . Вероятность это событие A будет равно 1 минус вероятность того, что событие A произойдет , а не происходят.

Р (А) = 1 - Р (А ')

Предположим, например, что вероятность того, что Билл закончит колледж составляет 0,80. Какова вероятность того, что Билл не закончит колледж? Исходя из правила вычитания, вероятность того, что Билл не получит диплом равно 1.00 - 0,80 или 0,20.

Правило умножения

Правило умножения применяется к ситуации, когда мы хотим знать вероятность пересечения двух событий; то есть мы хотим знать вероятность того, что оба события (Событие A и событие B) произойдут.

Правило умножения вероятность того, что события A и B произойдут, равна равна вероятности того, что Событие А произойдет, умноженной на вероятность того, что Событие B происходит при условии, что произошло событие A.

P (A ∩ B) = P (A) P (B | A)

Пример
Урна содержит 6 красных шариков и 4 черных шарика. Нарисованы два шарика без замена из урны. Какова вероятность того, что оба мрамор черный?

Решение: Пусть A = событие, когда первый шарик черный; и пусть B = случай, когда второй шарик черный.Мы знаем следующее:

  • Вначале в урне 10 шариков, 4 из которых черные. Следовательно, P (A) = 4/10.
  • После первого выбора в урне остается 9 шариков, 3 из которых черный. Следовательно, P (B | A) = 3/9.

Следовательно, исходя из правила умножения:

P (A ∩ B) = P (A) P (B | A)
P (A ∩ B) = (4/10) * (3/9) = 12/90 = 2/15 = 0.133

Правило добавления

Правило сложения применяется к следующей ситуации. У нас есть два события, и мы хотим знать вероятность того, что любое событие произойдет.

Правило сложения Вероятность того, что Происходит событие A или событие B равна вероятности того, что Событие А произойдет, плюс вероятность того, что Событие B происходит минус вероятность того, что оба события A и B.

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B)

Примечание: Учитывая тот факт, что P (A ∩ B) = P (A) P (B | A), правило сложения также может быть выражено как:

Р (А ∪ В) = Р (А) + Р (В) - Р (А) Р (В | А)

Пример
Студент идет в библиотеку. Вероятность того, что она ознакомится с (а) работой художественной литературы равно 0.40, (б) произведение научной литературы составляет 0,30, и (в) оба художественного произведения а научно-популярная - 0,20. Какова вероятность того, что студент получит художественная литература, документальная литература или и то, и другое?

Решение: Пусть F = событие, когда студент проверяет художественную литературу; и разреши N = событие, когда учащийся просматривает научную литературу. Затем по правилу дополнения:

P (F ∪ N) = P (F) + P (N) - P (F ∩ N)
P (F ∪ N) = 0.40 + 0,30 - 0,20 = 0,50

Проверьте свое понимание

Проблема 1

Урна содержит 6 красных шариков и 4 черных шарика. Нарисованы два шарика с заменой из урны. Какова вероятность того, что оба мрамор черный?

(А) 0,16
(В) 0,32
(С) 0.36
(D) 0,40
(E) 0,60

Решение

Правильный ответ - A. Пусть A = событие, когда первый шарик черный; и пусть B = случай, когда второй шарик черный. Мы знаем следующее:

  • Вначале в урне 10 шариков, 4 из которых черные. Следовательно, P (A) = 4/10.
  • После первого выбора мы заменяем выбранный мрамор; так что есть еще В урне 10 шариков, 4 из которых черные. Следовательно, P (B | A) = 4/10.

Следовательно, исходя из правила умножения:

P (A ∩ B) = P (A) P (B | A)
P (A ∩ B) = (4/10) * (4/10) = 16/100 = 0,16

Калькулятор вероятностей

Используйте калькулятор вероятности для вычисления вероятности событие из известных вероятностей других событий.Вероятность Калькулятор бесплатный и простой в использовании. Калькулятор вероятности можно найти в Stat Trek. главное меню на вкладке Stat Tools. Или вы можете нажать кнопку ниже.

Калькулятор вероятностей

Проблема 2

Карта выбирается случайным образом из колоды обычных игральных карт.Вы выиграете 10 долларов, если карта - пика или туз. Какова вероятность того, что вы выиграете игра?

(А) 1/13
(В) 13/52
(С) 4/13
(D) 17/52
(E) Ничего из вышеперечисленного.

Решение

Правильный ответ - С. Пусть S = событие, когда карта является пикой; и пусть A = событие, что карта - туз.Мы знаем следующее:

  • В колоде 52 карты.
  • Пик 13, поэтому P (S) = 13/52.
  • Всего тузов 4, поэтому P (A) = 4/52.
  • Есть 1 туз, который также является пикой, поэтому P (S ∩ A) = 1/52.

Следовательно, исходя из правила сложения:

P (S ∪ A) = P (S) + P (A) - P (S ∩ A)
P (S ∪ A) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13

.

Смотрите также

Поздравления на все случаи жизни

Все материалы, размещенные на сайте, либо написаны нами, либо присланы нашими читателями, либо взяты из открытых источников. Если Вы обнаружили свою авторскую работу, то напишите нам, и мы удалим ее незамедлительно!

© 2013- Энциклопедия тамады